The following length 69 sparse ruler has 15 marks. 0 1 2 3 4 5 6 7 16 25 34 43 52 61 69 gaps are 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 9 9 9 8 or 1×7 9×6 8×1 69 15 1 | 1×7 9×6 8×1 -- representation of ruler length marks excess | gaps excess = marks - round(sqrt(3×length + 9/4)) To length 461 all minimal sparse rulers have excess 0 or 1 (or maybe -1) 1 2 0 | 1×1 2 3 0 | 1×2 3 3 0 | 1×1 2×1 4 4 0 | 1×2 2×1 5 4 0 | 1×2 3×1 6 4 0 | 1×1 3×1 2×1 7 5 0 | 1×3 4×1 8 5 0 | 1×2 3×2 9 5 0 | 1×2 4×1 3×1 10 6 0 | 1×3 3×1 4×1 11 6 0 | 1×3 4×2 12 6 0 | 1×3 5×1 4×1 13 6 0 | 1×2 4×2 3×1 14 7 0 | 1×4 5×2 15 7 0 | 1×3 4×3 16 7 0 | 1×3 5×1 4×2 17 7 0 | 1×3 5×2 4×1 18 8 0 | 1×5 7×1 6×1 19 8 0 | 1×4 5×3 20 8 0 | 1×4 6×1 5×2 21 8 0 | 1×4 6×2 5×1 22 8 0 | 1×3 5×3 4×1 23 8 0 | 1×2 9×1 4×1 3×2 2×1 24 9 0 | 1×4 5×4 25 9 0 | 1×5 7×2 6×1 26 9 0 | 1×4 6×2 5×2 27 9 0 | 1×4 6×3 5×1 28 9 0 | 1×2 11×1 5×1 3×3 1×1 29 9 0 | 1×2 12×1 4×1 3×3 2×1 30 10 0 | 1×5 7×1 6×3 31 10 0 | 1×5 7×2 6×2 32 10 0 | 1×5 7×3 6×1 33 10 0 | 1×4 6×4 5×1 34 10 0 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